[증명] 피사체에서 이미지까지의 거리는 최소한 초점거리의 4배 이상이다.

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4월 292015

우연한 기회에 이런 문제를 받게 됐는데, 공부한 내용을 정리해 증명해보도록 하겠습니다.

이미 잘 알려진 공식 중에 아래와 같은 공식이 있습니다.

$\frac{1}{{d}_{o}} + \frac{1}{{d}_{i}} = \frac{1}{f}$ ………………… (1)

${ d }_{ o }$ : 렌즈에서 피사체까지 거리
${ d }_{ i }$ : 렌즈에서 이미지까지 거리
$f$ : 렌즈의 초점 거리

주어진 문제는 피사체와 이미지 사이의 거리에 관한 것 입니다.
피사체와 이미지 사이의 거리를 $s$ 라고 한다면, 이를 다음과 같이 표현 할 수 있습니다.

$s = {d}_{o} + {d}_{i}$ ………………… (2)

뭐… 너무도 당연한 것이지만, 피사체에서 이미지 까지의 거리는, 피사체-렌즈 거리, 렌즈-이미지 거리를 합한 것입니다.

위의 (1)번 식을 이미지-렌즈간 거리, ${ d }_{ i }$ 를 이용하여 정의 하면,

$\frac{1}{{d}_{o}} + \frac{1}{{d}_{i}} = \frac {1}{f}$
$\frac{1}{{d}_{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{{d}_{o}}$
$= \frac{{d}_{o} - f}{f \cdot {d}_{o}}$
$\therefore {{d}_{i}} = \frac{f \cdot {d}_{o}}{{d}_{o}-f}$ ………………… (3)

이렇게 다시 정의된 ${ d }_{ i }$ 를 (2)의 식에 대입해 보면…

$s = {d}_{o} + {d}_{i}$
    $= {d}_{o} + \frac{f \cdot {d}_{o}}{{d}_{o}-f}$
    $= \frac{{d}_{o}({d}_{o}-f) + f\cdot{d}_{o}}{{d}_{o}-f}$
    $= \frac{{d}_{o}^{2} - f\cdot{d}_{o} + f\cdot{d}_{o}}{{d}_{o}-f}$
$\therefore s = \frac{{d}_{o}^{2}}{{d}_{o}-f}$ ………………… (4)

구해진 공식을 보면, 피사체-이미지 거리는 피사체-렌즈 거리에 반비례 하지만, 또한 피사체-렌즈 거리의 제곱에 비례합니다. 이 식을 그래프로 그려보면 역포물선의 형태를 띠게 될 것입니다.

아직 답을 얻은 것은 아니지만, 이 식을 온라인에서 그래프로 그려보면 예상대로 역포물선의 형태를 그리게 됩니다. (렌즈의 초점거리는 편의상 1로 잡았음)

위의 그래프에서 봤듯이, 피사체-렌즈 거리에 따라 피사체-이미지 거리에 최소점이 존재하는데, 그 최소점은 그래프의 기울기가 0이 되는 지점이 됩니다.

바로, 그 지점에서 피사체-렌즈 거리가 최소로 되고, 그 지점의 피사체-렌즈 거리 값( ${d}_{o}$ )을 구할 수 있게 됩니다.

그럼, 그래프 상에서 기울기가 0인 지점은 어떻게 찾을 수 있을까?

그렇습니다. 고등학교 때 배웠던 미분을 이용하면 됩니다. 그래프의 기울기라는 것은 $y$ 축의 변화량을 $x$ 축의 변화량으로 나눈 값… 이 경우 $s$ 값의 변화량을 ${d}_{o}$ 의 변화량으로 나눈 값…
즉, $\frac{{d}_{s}}{{d}_{{d}_{o}}}$ 가 되겠습니다.

미분의 심오한 세계에서 미리 선지자들이 증명한 공식을 뒤져 보면, 분수형태의 함수를 미분하는 다음과 같은 공식을 찾을 수 있습니다.

만약, $u\left( x \right)$ 와 $v\left( x \right)$ 가 모두 $x$ 의 함수 이고, 미분 가능하며, $v \neq 0$ 이라면,

$\frac{d}{{d}_{x}}\left( \frac{u}{v} \right) = \frac{ \frac{{d}_{u}}{{d}_{x}} \cdot v - u \cdot \frac{{d}_{v}}{{d}_{x}} }{ {v}^{2}}$ ………………… (5)

(4)번 식을 (5) 식에 적용한다면,

$u = {d}_{o}^{2}$
$v = {d}_{o} - f$ 가 됩니다.

그러므로, (4)의 미분식은 …

$\frac{{d}_{s}}{{d}_{{d}_{o}}} = \frac{ 2{d}_{o}\cdot({d}_{o}-f) - {d}_{o}^{2} }{ {({d}_{o} - f)}^{2} }$
      $= \frac{ 2{d}_{o}^{2} - 2{d}_{o}f - {d}_{o}^{2} }{ {({d}_{o} - f)}^{2} }$
      $= \frac{ {d}_{o}^{2} - 2{d}_{o}f }{ {({d}_{o} - f)}^{2} }$
      $= \frac{ {d}_{o}({d}_{o} - 2f) }{ {({d}_{o} - f)}^{2} }$

자… 이제 미분식을 풀었습니다. 이제 여기서 알고자 하는 것은 이 미분식의 값이 0이 되는 지점입니다.

즉… $= \frac{ {d}_{o}({d}_{o} - 2f) }{ {({d}_{o} - f)}^{2} } = 0$ 의 해가 찾고자 하는 것입니다.

그럼, 이 식에서 분자가 0 이 되는 점, 즉 ${d}_{o} = \left\{ 0, 2f \right\}$ 가 되겠습니다.

그런데, (1) 식을 이용하면 피사체가 초점거리 만큼 렌즈에 다가 오면 상이 맺히는 이미지-렌즈의 거리는 무한대가 되기 때문에, 피사체가 초점 거리보다 더 가까이 다가 온다는 것은 의미가 없고, 또한 피사체-렌즈 거리가 0가 된다는 것은 물리적으로 피사체가 렌즈의 한 가운데, 존재해야 하므로, 이는 실세계에서 불가능한 일이다.

따라서 ${d}_{o} = 0$ 라는 것은 이 식의 답이 될 수 없다.

그렇다면, ${d}_{o} = 2f$ 라는 것 만이 이 식의 해가 됩니다.
이를 앞서 정의했던 (3)식에 대입해 보겠습니다.

${{d}_{i}} = \frac{f \cdot {d}_{o}}{{d}_{o}-f} = \frac{f \cdot 2f}{2f-f} = \frac{ {2f}^{2}}{f}$
$= 2f$

그럼, 이렇게 얻어진 값을 (2)식에 넣어보면,

$s = {d}_{o} + {d}_{i}$
$= 2f + 2f$
$= 4f$

짜잔…. 피사체-렌즈 거리 ( ${d}_{o}$ ), 그리고, 피사체-이미지 거리 ( $s$ ) 관계에서 피사체-이미지 거리 ( $s$ )가 최소로 되는 것은 피사체-렌즈 거리 ( ${d}_{o}$ )가 초점거리의 2배가 되는 지점에 왔을 때이며, 이 때는 이미지 역시 렌즈에서 초점거리의 2배가 되는 거리에 맺혀지게 된다는 결론입니다.

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[증명] 피사체에서 이미지까지의 거리는 최소한 초점거리의 4배 이상이다.

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