단초점 렌즈에서 초점거리와 피사체 거리, 이미지 거리의 관계

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4월 242015

좀 궁금한 것이 있어 인터넷을 뒤졌더니, 아래와 같은 공식을 찾았습니다.

$\frac { 1 }{ { d }_{ o } } +\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f }$

${ d }_{ o }$ : 렌즈에서 피사체까지의 거리
${ d }_{ i }$ : 렌즈에서 이미지까지 거리
${f}$ : 렌즈의 초점거리

이 공식을 이용하면, 단초점 렌즈를 이용할 경우 피사체의 거리에 따라, 이미지가 맺히는 거리를 구할 수 있습니다.

그러니까, 간단하게 아래 같이 공식이 됩니다.

$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f } \quad - \quad \frac { 1 }{ { d }_{ o } }$

예를 들어 초점거리가 f인 렌즈가 있다고 했을 때, 피사체가 무한대 거리에 있을 경우…

$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f } \quad - \quad \frac { 1 }{ { d }_{ o } }$ 라는 공식에서…
$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f } \quad - \quad \frac { 1 }{ \infty }$ ( $\frac { 1 }{ \infty }$ 는 거의 0에 수렴하니까… 0)
$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f } \quad - \quad 0$ 이고…

$\therefore { d }_{ i } \quad =\quad f$

이 말인 즉슨, 무한대 거리에 있는 피사체에 초점을 맞추려면, 원래 렌즈의 초점거리만큼 필름면에서 렌즈가 떨어지면 선명한 이미지가 생성이 된다는 말입니다. 초점거리 35mm 렌즈라면 이미지는 35mm에 맺혀진다라는 말… 너무 당연한 건가요? ㅎㅎㅎ

만약에 무한대 거리가 아니라, 초점거리의 10배 거리까지 다가온 피사체에 초점을 맞추려면…

$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f } \quad - \quad \frac { 1 }{ { d }_{ o } }$ 라는 공식에서…
$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f } \quad - \quad \frac { 1 }{ 10f }$ 라는 것이 되고…
$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 10\quad-\quad1 } {10f} \quad =\quad \frac {9}{10f}$

$\therefore { d }_{ i } \quad =\quad \frac {10}{9}\cdot f$

오홍… 무한대에서 피사체가 가까이 오니까 이미지가 맺혀지는 거리가 무한대 초점거리에서 좀 늘어났습니다.
그러니까, 이 말은… 필름면이 고정된 위치에 있다면, 무한대에서 좀 더 가까와진 피사체에 초점을 맞추려면 렌즈가 좀 더 필름면에서 멀어져야 한다… 는 말이 됩니다.

그럼 피사체가 원래 초점 거리의 2배 거리까지 가깝게 다가오면 어떻게 될까요?

$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f } \quad - \quad \frac { 1 }{ { d }_{ o } }$ 라는 공식에서…
$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f } \quad - \quad \frac { 1 }{ 2f }$ 라는 것이 되고…
$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 2-1 }{ 2f } \quad =\quad \frac {1}{2f}$

$\therefore { d }_{ i } \quad =\quad 2 \cdot f$

그러니까, 초점거리의 2배 만큼 떨어진 피사체에 초점을 맞추려면, 원래 렌즈 초점거리의 2배만큼 필름면에서 떨어져 줘야 초점이 맞춰지겠네요.

이 공식을 풀면 왜 접사튜브를 렌즈와 바디 사이에 끼워넣어 플렌지 백을 연장해주면, 더 가까이 있는 피사체에 설계 최소 초점거리를 넘어서 초점을 잡을 수 있는지 설명이 됩니다.

그리고 더욱 피사체가 가까와 오면 이미지 초점 거리가 급격하게 늘어나게 되고, 초점 거리까지 다가오면 이미지 거리가 무한대가 되어서 초점을 맞출 수 없게 되네요. 오홍…..

이 공식으로 보면,

왜 망원렌즈는 초점을 잡기 위해 더 많이 움직여야 되고, 광각렌즈는 조금만 움직여도 되는지도 설명이 됩니다.

만일에 제가 35mm 단초점 렌즈를 가지고 있을 때, 렌즈의 초점거리의 5배인 17.5cm 로 최소 초점 거리를 잡는 설계를 한다면…

$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f } \quad - \quad \frac { 1 }{ { d }_{ o } }$ 라는 공식에서…
$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 1 }{ f } \quad - \quad \frac { 1 }{ 5f }$
$\frac { 1 }{ { d }_{ i } } \quad =\quad \frac { 5-1 }{ 5f } \quad =\quad \frac {4}{5f}$

$\therefore { d }_{ i } \quad =\quad \frac {5f}{4}$

즉, f=35mm 이니까 43.75mm 에 상이 맺히게 된다…

결과적으로 본다면… 무한대 초점은 렌즈가 필름면에서 35mm 떨어져 있어야 하고,
최소초점 설계 거리인 17.5cm 에 초점을 맞추려면 필름면에서 43.75mm 떨어져야 하니까…

렌즈의 이동 거리는 35mm 에서 8.75mm 가 움직여 줄 수 있는 구동을 해야 하는 설계다… 뭐… 이런 결론이 나오겠네요…

와~~~ 완전 신기신기…. ㅎㅎㅎㅎ

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